Главная/

Программирование, базы данных. /

Фрактальные рельефы

Введение

Фракталы встречаются везде, где заканчиваются правильные формы евклидовой геометрии. Все, что создано человеком, ограничено плоскостями. Если встречается природный объект, то с первого взгляда видно, что осознать, описать его форму со всеми шероховатостями можно только приблизительно. Здесь на помощь приходят фракталы.

Термин «фрактал»  (от латинского слова «fractus» — дробь)  введен   бельгийским математиком Бенуа Мандельбротом и обозначает множество, имеющее дробную фрактальную размерность. Для пояснения фрактальной размерности необходимо ввести понятие топологической размерности. Под топологической размерностью Dt множества в ли­нейном пространстве понимают число линейно неза­висимых координат в пространстве. Например, ок­ружность и линия имеют топологическую размер­ность 1; круг и квадрат — 2; шар и куб — 3. Фрактальная размерность множества D — размер­ность того пространства, которое полностью запол­няется множеством. Для связи фрактальной и топо­логической размерностей используют показатель Херста Н, вычисляемый по формуле: Н = D—Dt. Фракталом называют множество, фрактальная раз­мерность которого не совпадает с топологической.

Рассмотрим классический пример фрактального множества — триадную кривую Кох. Построение кривой начинается с единичного отрезка, который называется инициатором и является предфракталом 0-го порядка. Далее инициатор заменяется на образующий элемент — кривую из четырех прямолинейных звеньев, каждое из которых имеет длину 1/3. Так образуется предфрактал 1-го порядка. Его длина равна 4/3. Для построения предфрактала следующего порядка каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. В результате получаем кривую, состоящую из 4х4=16 звеньев, каждое из которых имеет длину (1/3)/3= 1/9, общая длина равна 16/9. Длина предфрактала n-го порядка равна (4/3) в степени n. Очевидно, что предел длины кривой при n, стремящемся к бесконечности, равен бесконечности. Если построение кривой начинать не с отрезка, а с треугольника, и применить вышеперечисленные построения к каждой его стороне, то получим «снежинку» Кох. Эта фигура интересна тем, что ее периметр — линия бесконечной длины — ограничива­ет конечную площадь.

В наше время фракталы активно используются во многих областях программирования. Данная работа посвящена лишь одному аспекту их применения - генерации рельефов при помощи фракталов. Рассмотрен алгоритм посторения рельефа при помощи вокселей (voxel - минимальный элемент трехмерного изображения, элемент объема) . Полученный пейзаж весьма реалистичен, поэтому этот алгоритм часто используется при создании компьютерных игр, требующих быстрой прорисовки пейзажа. Игры, написанные с примением вокселей гораздо динамичнее игр, в которых используется "натягивание" текстур на объекты. Также в данной работе рассмотрен способ преобразования фрактального изображения в объемное.