Решение систем линейных алгебраических уровнений методоми Гаусса и Зейделя

Введение 1

1. Теоретическая часть 1

1.1. Метод Гаусса 1

1.2. Метод Зейделя 4

1.3. Сравнение прямых и итерационных методов 6

2. Практическая часть 7

2.1 Программа решения системы линейных уравнений по методу Гаусса 7

2.2 Программа решения системы линейных уравнений по методу Зейделя 10

Введение

Решение систем линейных алгебраических уравнений – одна из основных задач вычислительной линейной алгебры. Хотя задача решения системы линейных уравнений сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для приложений, от умения эффективно решать такие системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением ЭВМ. Значительная часть численных методов решения различных (в особенности – нелинейных) задач включает в себя решение систем линейных уравнений как элементарный шаг соответствующего алгоритма.

Одна из трудностей практического решения систем большой размерности связанна с ограниченностью оперативной памяти ЭВМ. Хотя обьем оперативной памяти вновь создаваемых вычислительных машин растет очень быстро, тем не менее, еще быстрее возрастают потребности практики в решении задач все большей размерности. В значительной степени ограничения на размерность решаемых систем можно снять, если использовать для хранения матрицы внешние запоминающие устройства. Однако в этом случае многократно возрастают как затраты машинного времени, так и сложность соответствующих алгоритмов. Поэтому при создании вычислительных алгоритмов линейной алгебры большое внимание уделяют способам компактного размещения элементов матриц в памяти ЭВМ.

К счастью, приложения очень часто приводят к матрицам, в которых число ненулевых элементов много меньше общего чила элементов матрицы. Такие матрицы принято называть разреженными. Одним из основных источников разреженных матриц являются математические модели технических устройств, состоящих из большого числа элементов, связи между которыми локальны. Простейшие примеры таких устройств – сложные строительные конструкции и большие электрические цепи.

Известны примеры решенных в последние годы задач, где число неизвестных достигало сотен тысяч. Естественно, это было бы невозможно, если бы соответствующие матрицы не являлись разреженными (матрица системы из 100 тыс. уравнений в формате двойной точности заняла бы около 75 Гбайт).

1. Теоретическая часть 1.1. Метод Гаусса

Одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах уже более 2000 лет.

Вычисления с помощью метода Гаусса заключаются в последовательном исключении неизвестных из системы для преобразования ее к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей. Вычисления значений неизвестных производят на этапе обратного хода.

1.1.1. Схема единственного деления. Рассмотрим сначала простейший вариант метода Гаусса, называемый схемой единственного деления.

Прямой ход состоит из n - 1 шагов исключения.

1-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного x₁ из уравнений с номерами i = 2, 3, …, n. Предположим, что коэффициент a₁₁ ¹ 0. Будем называть его главным элементом 1-го шага.

Найдем величины

q_i₁ = a_i₁/a₁₁ (i = 2, 3, …, n),

называемые множителями 1-го шага. Вычтем последовательно из второго, третьего, …, n-го уравнений системы первое уравнение, умноженное соответственно на q₂₁, q₃₁, …, q_n₁. Это позволит обратить в нуль коэффициенты при x₁ во всех уравнениях, кроме первого. В результате получим эквивалентную систему

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + … + a_1nx_n= b₁,

a₂₂⁽¹⁾x₂ + a₂₃⁽¹⁾x₃ + … + a_2n⁽¹⁾x_n= b₂⁽¹⁾,

a₃₂⁽¹⁾x₂ + a₃₃⁽¹⁾x₃ + … + a_3n⁽¹⁾x_n= b₃⁽¹⁾ ,

. . . . . . . . . . . . . . .

a_n₂⁽¹⁾x₂ + a_n₃⁽¹⁾x₃ + … + a_nn⁽¹⁾x_n= b_n⁽¹⁾ .

в которой a_ij⁽¹⁾ и b_ij⁽¹⁾ вычисляются по формулам

a_ij⁽¹⁾ = a_ij− q_i₁a_1j , b_i⁽¹⁾ = b_i − q_i₁b₁.

2-й шаг. Целью этого шага является ислючение неизвестного x₂ из уравнений с номерами i = 3, 4, …, n. Пусть a₂₂⁽¹⁾ ≠ 0, где a₂₂⁽¹⁾ – коэффициент, называемый главным (или ведущим) элементом 2-го шага. Вычислим множители 2-го шага

q_i₂ = a_i₂⁽¹⁾ / a₂₂⁽¹⁾ (i = 3, 4, …, n)

и вычтем последовательно из третьего, четвертого, …, n-го уравнения системы второе уравнение, умноженное соответственно на q₃₂, q₄₂, …, q_m₂. В результате получим систему

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + … + a_1nx_n = b₁,

a₂₂⁽¹⁾x₂ + a₂₃⁽¹⁾x₃ + … + a_2n⁽¹⁾ = b₂⁽¹⁾,

a₃₃⁽²⁾x₃+ … + a_3n⁽²⁾x_n = b₃⁽²⁾,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a_n₃⁽²⁾x₃ + … + a_nn⁽²⁾x_n= b_n⁽²⁾.

Здесь коэффициенты a_ij⁽²⁾ и b_ij⁽²⁾ вычисляются по формулам

a_ij⁽²⁾ = a_ij⁽¹⁾ – q_i₂a_2j⁽¹⁾ , b_i⁽²⁾ = b_i⁽¹⁾ – q_i₂b₂⁽¹⁾.

Аналогично проводятся остальные шаги. Опишем очередной k-й шаг.

k-й шаг. В предположении, что главный (ведущий)

	Пример: Глобальная сеть INTERNET
Я ищу:
На главную \| Добавить в избранное