Главная/

Физика /

Электрон в слое

Министерство Образования, Молодежи и Спорта

Республики Молдова

Государственный университет Молдовы

Курсовая Работа

Тема:   Электрон в слое.

Кишинёв 1997 г.
Микрочастица (электрон) в слое.

Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых  упрощений.

Она состоит в следующем :

Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x, и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом :

м -ћ²/(2m)Ч¶²/¶x² + U₀  ,  x < -a

 Щ   п

 H = н -ћ²/(2m₀)Ч¶²/¶x²      ,  -a < x < a

п

о -ћ²/(2m)Ч¶²/¶x² + U₀  ,  x > a

Где  m   -   эффективная масса электрона в областях I , III ;

         m₀ -   эффективная масса электрона в области II.

Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области :

  м ¶²Y_I/¶x² + 2m/ћ²Ч(E - U₀)Y_I = 0    ,  x £ -a

  п

  н ¶²Y_II/¶x² + 2m₀/ћ²ЧEЧY_I = 0         ,  -a £ x £ a

п

  о ¶²Y_III/¶x² + 2m/ћ²Ч(E - U₀)ЧY_I = 0     ,  x ³ a

Область I :    

Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу :

Y_I(x) = AЧexp(nЧx) + BЧexp(-nЧx).

Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит,

Y_I(x) = AЧexp(nЧx).

Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется :

Y_II(x) = CЧexp(iЧkЧx) + DЧexp(-iЧkЧx).

Функция состояния для третьей области выглядит так :

Y_III(x) = FЧexp(-nЧx).

Где

                   k = (2m₀ЧE/ћ²)^1/2

                   n = (2mЧ(U₀-E)/ћ²)^1/2.

Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем :

¨    Напишем систему из  4  уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям.

¨    В этой системе из  4  уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты  A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них.

¨    Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.

Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций :

   Y_I(x=-a) = Y_II(x=-a)

Y_II(x=a) = Y_III(x=a)

     Y_I¢(x=-a)/m = Y_II¢(x=-a)/m₀

   Y_II¢(x=a)/m₀ = Y_III¢(x=a)/m

А в наших определениях этих функций это выглядит так :

AЧexp(-nЧa) = CЧexp(-iЧkЧa) + DЧexp(iЧkЧa)

m^-1ЧAЧ nЧexp(-nЧa) = iЧkЧ/m₀Ч(CЧexp(-iЧkЧa) - DЧexp(iЧkЧa))

CЧexp(iЧkЧa) + DЧexp(-iЧkЧa) = FЧexp(-nЧa)

iЧkЧ/m₀Ч(CЧexp(iЧkЧa) - DЧexp(-iЧkЧa)) = - n/mЧFЧexp(-nЧa).

Теперь составим определитель :

|exp(-nЧa)               -exp(-iЧkЧa)                     -exp(iЧkЧa)                        0                         |

|m^-1ЧnЧexp(-nЧa)       -1/m₀ЧiЧkЧexp(-iЧkЧa)         1/m₀ЧiЧkЧexp(iЧkЧa)              0                         |

|0                            exp(iЧkЧa)                          exp(-iЧkЧa)                        -exp(-nЧa)          |

|0                            1/m₀ЧiЧkЧexp(iЧkЧa)              -1/m₀ЧiЧkЧexp(-iЧkЧa)         1/mЧnЧexp(-nЧa)|

Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии:

((n/m)² - (k/m₀)²)ЧSin(2ЧkЧa) + 2ЧkЧn/(mЧm₀)ЧCos(2ЧkЧa) = 0.

Это уравнение решается численным методом, а именно,  методом Ньютона.

Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.

C = FЧexp(-nЧa)Ч{exp(iЧkЧa) + exp(-3ЧiЧkЧa) Ч( iЧk/m₀ - n/m)/(n/m + iЧk/m₀)}

D = CЧexp(-2ЧiЧkЧa)Ч( iЧk/m₀ - n/m)/(n/m + iЧk/m₀)

A = exp(nЧa)Ч(CЧexp(-iЧkЧa) + DЧexp(iЧkЧa)) .

Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения :

A = R_AЧF

C = R_CЧF

D = R_DЧF.

R_A, R_C, R_D - известные постоянные.

Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D.  А сделаем мы это с помощью условия нормировки.

Действительно :

Y_I(x) = FЧR_AЧexp(nЧx)

Y_II(x) = FЧ( R_CЧexp(iЧkЧx) + R_DЧexp(-iЧkЧx)).

Y_III(x) = FЧexp(-nЧx).

I₁ + I₂ + I₃ = 1

Где

I₁ = |F|²Ч|R_A|²Чт_Qexp(2ЧnЧx)Чdx = |F|²Ч|R_A|₂Ч(2Чn)^-1Чexp(2ЧnЧx) =

= |F|²Ч|R_A|²Ч(2Чn)^-1Чexp(-2ЧnЧa)

I₂ = |F|²Ч{ т_L|R_C|²Чdx + т_L|R_D|²Чdx + R_CЧR_D^*Чт_Lexp(2ЧiЧkЧx)Чdx +

+ R_C^*ЧR_DЧт_Lexp(-2ЧiЧkЧx)Чdx } = |F|²Ч{ 2ЧaЧ(|R_C|² + |R_D|²) +

((exp(2ЧiЧkЧa) - exp(-2ЧiЧkЧa))ЧR_CЧR_D^*/(2ЧiЧk) +

+ iЧ((exp(-2ЧiЧkЧa) - exp(2ЧiЧkЧa))ЧR_C^*ЧR_D/(2Чk) }

I₃ = |F|²Чт_Wexp(-2ЧnЧx)Чdx = |F|²Ч(2Чn)^-1Чexp(-2ЧnЧa)

|F|² = { |R_A|²Ч(2Чn)^-1Чexp(-2ЧnЧa) + 2ЧaЧ(|R_C|² + |R_D|²) +

((exp(2ЧiЧkЧa) - exp(-2ЧiЧkЧa))ЧR_CЧR_D^*/(2ЧiЧk) +

+ iЧ((exp(-2ЧiЧkЧa) - exp(2ЧiЧkЧa))ЧR_C^*ЧR_D/(2Чk) + (2Чn)^-1Чexp(-2ЧnЧa) }^-1.

Теперь, когда мы знаем  F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона.

Электрон в слоях

Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так.

То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек.

Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто:

U(x)=U(x+2a)         (1)

Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера.

Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера:

¶²Y/¶x² + 2m/ћ²Ч(E - U₀)Y = 0

следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем.

Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом:

r = exp(i 2ak)

Тогда Y(x+2ma) = Y(x)Чr^m ,          где  m=0, ±1, ±2,...                 (2)

Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E<U₀) и волновой функции является рассмотрение областей I, II, III. Действительно, пользуясь соотношением (2), мы определим волновую функцию на всей действительной оси.

Рассмотрим область I:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

¶²Y_I/¶x² + 2m₂/ћ²Ч(E - U₀)Y_I = 0    ,  0 > x > -a

его решение выглядит просто:

Y_I(x) = AЧexp(nЧx) + BЧexp(-nЧx).

Где n = (2m₂ (U₀-E) /ћ²)^1/2

Рассмотрим область II:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

¶²Y_II/¶x² + 2m₁/ћ²ЧE Y_II = 0    ,  a ³ x ³ 0

его решение выглядит просто:

Y_II(x) = CЧexp(iЧpЧx) + DЧexp(-iЧpЧx).

Где  p = (2m₁E/ћ²)^1/2

Рассмотрим область III:

¶²Y_III/¶x² + 2m₂/ћ²Ч(E - U₀)Y_III = 0    ,  2a > x > a

его решение выглядит просто:

Y_III(x) = r (AЧexp(nЧx) + BЧexp(-nЧx)).

Запишем граничные условия:

Y_I(x=0) = Y_II(x=0)

Y_II(x=a) = Y_III(x=a)

     Y_I¢(x=0)/m = Y_II¢(x=0)/m₀

   Y_II¢(x=a)/m₀ = Y_III¢(x=a)/m

Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D:

A+B=C+D

C exp(i p a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a))

(A-B) n/m₂ = (C-D) i p / m₁

(C exp(i p a)-D exp(-i p a)) i p / m₁ = exp(i 2 a k) n/m₂ (A exp(n a)-B exp(-n a))

Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель :

|1                                 1                                    -1                             -1                        |

|exp(iЧkЧ2a+nЧa)             exp(iЧkЧ2a-nЧa)                -exp(iЧpЧa)                 -exp(-iЧpЧa)          |

|n/m₂                            -n/m₂                             -iЧp/m₁                      iЧp/m₁                         |

|n/m₂exp(iЧkЧ2a+nЧa)      -n/m₂Чexp(iЧkЧ2a-nЧa)       - iЧp/m₁Чexp(iЧpЧa)      iЧp/m₁Чexp(-iЧpЧa)  |

и приравняем его к нулю.

Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона.

Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже.

a=10;          U=10;              m₁=4;               m₂=1

a=10           U=10               m₁=2                m₂=1

a=10           U=10               m₁=1                m₂=1

a=10           U=10               m₁=0.5 m₂=1

a=10           U=10               m₁=.25 m₂=1